第三百四十八章 彼得尔

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348章

灵感，总是来的这么措不及防！

程诺嘴角微微一勾，将书页翻回原本那一页。

既然Chebyshev （切比雪夫）给出的Bertrand 假设的证明过程如此复杂，那么，自己就挑战一下，看看是否能够用更加简便的数学语言证明Bertrand 假设吧。

顺便，来验证一下，这一年的深入钻研，自己的能力究竟到了何种地步。

Bertrand 假设的简单证明方法。

光是这个论文题目，就足以被称得上是一区水平的论文。当然，前提是程诺真的能够探索出来那条简单的解法。

就如程诺之前所假设过的。数学界每一个猜想或者假设的证明过程都是由起点走到终点的过程，有的路线曲折，有的路线笔直。

而或许，切比雪夫发现的是那条比较曲折的路线，而程诺，则需要在前人的基础上，开辟出一条更加简捷的道路。

但这却比单独证明Bertrand 假设要简单。

毕竟是站在巨人的肩膀上看待问题，有了切比雪夫这位“开荒者”提出的证明方案，程诺或多或少的也能从中汲取到什么，并进行独到的理解。

想到就做！

程诺不是那么犹豫不决的人。反正时间充裕，容得程诺在发现“此路不通”后，重新寻找另一个论文方向。

想要提出更加简便的方案，首先要把前人提出的证明思路吃透。

他没有火急火燎的直接开始自己的钻研，而是低下头，从头到尾的阅读书中关Bertrand 假设的那十几页内容。

两个小时后，程诺合上书。

闭着眼回味了几秒，他从书包中掏出一摞空白的草稿纸，拿起桌面上的黑色碳素笔，聚精会神的开始了自己的推演：

想要证明Bertrand 假设，就必须证明几个辅助命题。

引理一：【引理 1：设 n 为一自然数， p 为一素数，则能整除 n!的 p 的最高幂次为： s =Σi≥1floor(n/pi)(式中 floor(x)为不大于 x 的最大整数)】

这里，需要将从 1 到 n 的所有(n 个)自然数排列在一条直线上，在每个数字上叠放一列 si 个记号，显然记号的总数是 s。

关系式 s =Σ1≤i≤n si 表示的是先计算各列的记号数(即 si)再求和，由此得到的关系，便是引理1。

引理二：【设 n 为自然数， p 为素数，则Πp≤n p < 4n】

用数学归纳法。 n = 1 和 n = 2 时引理显然成立。假设引理对 n < N 成立(N > 2)，我们来证明 n = N 的情形。

如果 N 为偶数，则Πp≤N p =Πp≤N-1 p，引理显然成立。

如果 N 为奇数，设 N = 2m + 1 (m ≥ 1)。注意到所有 m + 1 < p ≤ 2m + 1 的素数都是组合数(2m+1)!/m!(m+1)!的因子，另一方面组合数(2m+1)!/m!(m+1)!在二项式展开(1+1)2m+1 中出现两次，因而(2m+1)!/m!(m+1)!≤(1+1)2m+1 / 2 = 4m.

如此，便能……

程诺思路顺畅，几乎没费多大功夫，便用自己的方法将这两个辅助命题证明出来。

当然，这不过是才走完第一步而已。

按照切比雪夫的思路，后面还需要通过这两个定理引入到Bertrand 假设的证明步骤中去。

切比雪夫用的方法是硬凑，没错，就是硬凑！

通过公式间的不断转换，将Bertrand 假设的成立的某一个，或者某几个充要条件，转换为引理一或者引理二的形式，在进行化简整合求解。

当然，程诺肯定不能这么做。